行列式

Determinants

二阶行列式：

\begin{array}{r} | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} | = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} \end{array}

三阶行列式：

\begin{aligned} | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} | & = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{21} a_{32} a_{13} + a_{12} a_{23} a_{31} \\ - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{12} a_{23} a_{31} - a_{21} a_{32} a_{13} \end{aligned}

n 阶行列式：

\begin{array}{r} D = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | \end{array}

几何意义：将矩阵映射为一个标量，矩阵的每列（或每行）代表一个边/平面，行列式表示多维空间各平面围成的体积。（代表了由矩阵 A 的列向量（或行向量） 在 n 维空间 中所张成的 平行多面体 的 有向体积。）

\begin{array}{r} det A = \sum (det P) a_{1 α} a_{2 β} \dots a_{n ω} \end{array}

行列式等于任一行/列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和

\begin{array}{r} det A = a_{i 1} C_{i 1} + a_{i 2} C_{i 2} + \dots + a_{i n} C_{i n} 按行展开 \\ det A = a_{1 i} C_{1 i} + a_{2 i} C_{2 i} + \dots + a_{n i} C_{n i} 按列展开 \end{array}

余子式 $M_{i j}$ ：为去掉行 $i$ 和列 $j$ 的子矩阵
代数余子式 $C_{i j}$ ： $C_{i j} = (- 1)^{i + j} det M_{i j}$ 为余子式的行列式（加上由于排列产生的正负号）

伴随矩阵 $A^{*}$ 是矩阵 $A$ 的代数余子式的转置排列

\begin{array}{r} A^{*} = (\begin{array}{c} C_{11} & C_{21} & \dots & C_{n 1} \\ C_{12} & C_{22} & \dots & C_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ C_{1 n} & C_{2 n} & \dots & C_{n n} \end{array}) \end{array}

$A = (a_{i j}), A A^{*} = (b_{i j})$

b_{i j} = a_{i 1} C_{j 1} + a_{i 2} C_{j 2} + \dots + a_{i n} C_{j n} = {\begin{cases} | A | i = j \\ 0 i \neq j \end{cases}

行列式与转置行列式相等：

\begin{array}{r} D = D^{T} \end{array}

对换行列式的两行/列，行列式变号

如果有两行/列相等，则行列式为 0， $D = - D \to D = 0$
行列式的某一行/列的所有元素都乘以同一个数 $k$ ，相当于用 $k$ 乘以行列式